Poisson-lag & Elo-system: Matematiska Modeller för Sportvadslagning

Poisson-distribution: Grunderna

Poisson-distributionen är perfekt för att modellera händelser som sker slumpmässigt över tid – som mål i fotboll. Den beräknar sannolikheten för ett visst antal händelser baserat på genomsnittet.

Poisson-formeln

P(x) = (λ^x × e^-λ) / x!

Där: λ = förväntade antal händelser, x = faktiska antal händelser, e = 2.71828…

Praktiskt Exempel

Om Liverpool förväntas göra 1.8 mål hemma mot Everton:

Varför Poisson Fungerar för Fotboll

• Oberoende händelser: Varje mål är (relativt) oberoende
• Konstant rate: Målchans fördelad över 90 minuter
• Sällsynta händelser: Få mål per match (2.5-3 snitt)
• Historisk validering: Matchar verklig data väl

Bygga en Poisson-modell för Fotboll

Låt oss skapa en komplett Poisson-modell steg för steg:

Steg 1: Beräkna Attack- och Försvarsstyrka

Baserat på säsongsdata:

• Ligasnitt mål/match: 2.75
• Hemmasnitt: 1.55 mål
• Bortasnitt: 1.20 mål

Steg 2: Lagspecifik Data

Steg 3: Beräkna Förväntade Mål

För Man City (hemma) vs Arsenal (borta):

λ_hemma = Hemmasnitt × Attack_hemma × Försvar_borta

λ_City = 1.55 × 1.75 × 0.65 = 1.76 mål

λ_borta = Bortasnitt × Attack_borta × Försvar_hemma

λ_Arsenal = 1.20 × 1.45 × 0.45 = 0.78 mål

Steg 4: Generera Resultatmatris

Använd Poisson för alla möjliga resultat:

För djupare förståelse av målprognoser, se vår guide om Expected Goals (xG).

Elo-rating System: Dynamisk Lagstyrka

Elo-systemet, skapat av Arpad Elo för schack, anpassas perfekt för sportvadslagning genom att dynamiskt uppdatera lagstyrkor baserat på resultat.

Elo-formeln

R_ny = R_gammal + K × (Resultat – Förväntat)

Där: K = uppdateringsfaktor (typiskt 20-40)

Förväntat = 1 / (1 + 10^((R_motståndare – R_lag) / 400))

Elo i Praktiken

Exempel: Chelsea (Elo 1850) möter Tottenham (Elo 1750)

• Förväntad poäng Chelsea: 1 / (1 + 10^((1750-1850)/400)) = 0.64
• Om Chelsea vinner: 1850 + 32 × (1 – 0.64) = 1861.5
• Om oavgjort: 1850 + 32 × (0.5 – 0.64) = 1845.5
• Om förlust: 1850 + 32 × (0 – 0.64) = 1829.5

Fördelar med Elo för Vadslagning

• Självjusterande: Reagerar på formförändringar
• Kontextmedveten: Viktar senaste matcher högre
• Enkel implementation: Kräver minimal data
• Beprövad: Används av FiveThirtyEight, Clubelo

Kombinera Poisson och Elo

Den verkliga kraften kommer när vi kombinerar båda systemen:

Hybrid-modell Steg för Steg

1. Basera grundstyrkor på Elo: Översätt Elo till attack/försvar
2. Justera för form: Senaste 5 matchernas Elo-förändring
3. Applicera Poisson: Beräkna målförväntningar
4. Kalibrera: Jämför med marknadsodds

Elo till Poisson-parametrar

Praktiskt Exempel: Real Madrid vs Barcelona

Elo-ratings: Real Madrid 1920, Barcelona 1880

1. Elo-sannolikhet: Real 54%, Draw 26%, Barca 20%
2. Poisson-input: Real λ=1.95, Barca λ=1.42
3. Kombinerad prognos:
   • Real vinst: 52%
   • Oavgjort: 27%
   • Barca vinst: 21%
4. Jämför med odds: Hitta value där modell > implied probability

Avancerade Tillämpningar

Ta dina modeller till nästa nivå med dessa avancerade tekniker:

1. Tidsviktad Elo

Ge mer vikt åt senaste matcherna:

• Senaste matchen: K = 40
• 2-5 matcher sedan: K = 30
• 6-10 matcher: K = 20
• Äldre: K = 10

2. Situationsanpassad Poisson

3. Dixon-Coles Modifiering

Korrigerar för Poissons svagheter vid låga målantal:

• Justerar 0-0, 1-0, 0-1, 1-1 sannolikheter
• Tar hänsyn till målkorrelation
• Förbättrar träffsäkerhet med 3-5%

Lär dig mer om avancerad statistik i vår guide om AI och machine learning för vadslagning.

Implementera Modellerna i Excel/Python

Praktisk implementation för att komma igång:

Excel-implementation

1. Data-ark: Historiska resultat, Elo-ratings
2. Beräknings-ark: Poisson-formler, Elo-uppdateringar
3. Prognos-ark: Kommande matcher, value-identifiering
4. Tracking-ark: ROI, träffsäkerhet

Nyckelformler i Excel

• Poisson: =POISSON.DIST(x, lambda, FALSE)
• Elo förväntat: =1/(1+10^((B2-A2)/400))
• Value: =IF(ModelProb > 1/Odds, ”BET”, ”SKIP”)

Python-kodexempel

import numpy as np
from scipy.stats import poisson
import pandas as pd

def calculate_poisson_matrix(home_lambda, away_lambda, max_goals=5):
    """Beräknar sannolikhetsmatris för alla resultat"""
    matrix = np.zeros((max_goals+1, max_goals+1))
    
    for i in range(max_goals+1):
        for j in range(max_goals+1):
            matrix[i,j] = poisson.pmf(i, home_lambda) * poisson.pmf(j, away_lambda)
    
    return matrix

def update_elo(rating, expected, actual, k=32):
    """Uppdaterar Elo-rating efter match"""
    return rating + k * (actual - expected)

# Exempel
home_elo, away_elo = 1850, 1750
home_lambda = 1.8
away_lambda = 1.2

prob_matrix = calculate_poisson_matrix(home_lambda, away_lambda)
home_win = np.sum(np.tril(prob_matrix, -1))
draw = np.sum(np.diag(prob_matrix))
away_win = np.sum(np.triu(prob_matrix, 1))

print(f"1: {home_win:.2%}, X: {draw:.2%}, 2: {away_win:.2%}")
            

Vanliga Fallgropar och Lösningar

Undvik dessa misstag för bättre resultat:

1. Överanpassning (Overfitting)

• Problem: Modellen matchar historisk data för bra
• Symptom: Fantastisk backtest, dålig live-performance
• Lösning: Cross-validation, enklare modeller

2. Ignorera Kontextfaktorer

3. Felaktig Parameteruppdatering

• För snabb K-faktor: Överreaktion på enskilda resultat
• För långsam: Missar formförändringar
• Optimal: K=32 för ligamatcher, K=50 för cup

4. Dataqualitet

• Använd endast ”ren” data (ej förlängning)
• Minst 50 matcher för pålitliga λ-värden
• Separat modell för olika tävlingar

För mer om vanliga misstag, se vår guide om nybörjarfel inom vadslagning.

Resultat och ROI-förväntningar

Realistiska förväntningar baserat på tusentals simulerade säsonger:

Förväntad Performance

Volym och Bankrulle

• Minsta antal vad: 300+ per säsong för statistisk signifikans
• Rekommenderad bankrulle: 100 enheter
• Kelly-kriterium: Max 2-3% per vad
• Drawdown: Förvänta -20 till -30 enheter värsta fall

Lär dig mer om bankrullehantering i vår guide om Kelly-kriteriet.